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耦合帐篷映射混沌同步系统的筛形吸引域

时间:2013-12-10 15:37作者:admin访问量:


筛形吸引域(riddled basin)现象自1992年发现 以来[1],逐渐成为非线性研究的一个热点.所谓筛 形吸引域,就是具有正的勒贝格测度并包含非开集 的吸引域u‘2].因此,对于一个具有多个吸引子的系 统(其中要有一个混沌吸引子要讨论混沌吸引子 A的吸引域是否是筛形的,必须要保证:首先,存在 一个被A吸引的具有正勒贝格测度的点集;其次, .4的邻域中有足够多的点不被吸引到A上.

筛形吸引域通常出现在具有不变子空间的非线 性系统中,例如具有某些对称性的系统和混沌同步 系统,系统的混沌吸引子A位于这个不变子空间 中.许多学者都采用了这样的系统进行讨论.Ui等 人丨3]研究了筛形分叉(riddling bifurcation)发生的机 制,提出了鞍型排斥子分叉(saddle-reppler bifurca-tion)的概念.Maistrenko等人⑷则应用了吸收域 (absorbing area)的概念分析了线性稱合的二维逻辑 映射的混沌同步系统的筛形吸引域.Kapitaniak等 人[516]考察了直接耦合的斜帐篷映射的混沌同步系 统,研究了筛形吸引域从局部筛形(locally riddled basin)到全局筛形(globally riddled basin)的拓扑结 构的转变过程.

例,关于斜帐蓬映射的混沌同步系统中的筛形吸引 域问题已经有了一些结果[5_6〕,但本文不仅给出了 数值验证,还给出了其同步混沌吸引子的吸引域是 筛形吸引域的解析证明,提出了刻画吸引域筛形程 度的参考量:筛形品质因子,并利用筛形品质因子, 找出了筛形吸引域发生从局部筛形到全局筛形分叉 的耦合参数的临界值,修正了当系统出现筛形吸引 域时的横截Lyapunov指数的解析表达式.

对于u中的任意一点<

5),都有D;|H(7,f)| >1,因此,所有U中的点在 H的作用下,将会逃离区间由于点C(2/3,2/3) 嵌人在同步混沌吸引子A中.A有连续不变测度, C在A中有稠密的无穷多个前映像 <2/3),厂"(2/3)),在每一个点Ci都存在以点 C_"为尖点的形似C;的舌形区’所有这些舌形区的 并臬为识:见二厂1(1/),则识就是所要找的开 集,如图1所示.因此两个标准帐蓬映射的耦合混沌 同步系统的混沌吸引子A的吸引域(A)在乃 <f5/2的耦合参数区间是筛形吸引域.同样,根据 相似的分析,可以得到在-41/2的耦 合参数区间,吸引域<4)亦是筛形吸引域.此时,同 步混沌吸引子A只能吸引其充分小邻域S(A)中的 具有正勒贝格测度的点集,对于S<A)中的任意一 点rQ,都存在任意小的邻域!7(&),使得U <^)门3<义)是具有正测度的集合.

以上的证明过程给出了 A的充分小邻域S(A) 中的筛形性质,但这些逃离S(A)的轨道的最终趋 向,则要考虑整个动力系统的影响.根据逃离同步混 沌吸引子A的邻域S(A)的轨道的最终趋向,筛形 吸引域有两种形式.即局部筛形和全局筛形.对于局 部筛形的情形,几乎所有逃离S(A)的轨道都会返 回到5(A)、而后又会经过很长时间的演化再次逃 离S(A),然后重复以上过程.对于全局筛形、则几 乎所有逃离S(A)的轨道都会到达系统其他的吸引 子或趋于无穷大.可以明显观察到筛形吸引域的胖 分形结构.

对于本文所讨论的系统(1),当考察VI/2<e< 乃的耦合参数区间,逃离S(A)的轨道最终被吸 引到位于同步不变子空间上的一个无穷远点.对于 同步系统的实际应用而言,无穷远点的同步没有意 义.此时,A的吸引域被这个无穷远点的吸引域筛 出了孔洞.对于-乃-41/1的耦合参数区 间,吸引域(A )被不在同步不变子空间中的无穷远 点的吸引域筛出了孔洞.图2给出当e =0.93时的 吸引域(A)的全局图和局部放大图.此时A的吸引 域中出现了很多孔洞,不断放大,可以观察到不同层 次的胖分形结构.图3给出当e = -0.96时的吸引 域(A)的全局图和局部放大图,同样可以观察到胖 分形结构-从图3还可以看到,在45°方向上出现了 具有分形性质的竹叶状结构、表明吸引域(A )在出 现这些结构的区域中被筛出孔洞的程度最强'以至 于本来很微小的孔洞弥漫成片.图4给出当耦合参 数进一步变化时,吸引域(A)中的孔洞不断长大的 情形(注I在计算程序中,采用了非常接近于1的常 数1.999999,因为如果严格按=1 - 2

4筛形品质因子

定义设在筛形区域中,记未出现筛形吸引域 时属于同步混沌吸引子A的吸引域<A)的点的个 数为M,未出现筛形吸引域时属于吸引域(A)而出 现筛形吸引域时不属于吸引域(A)的点的个数为 iV,则筛形品质因子p = N/M.

显然p刻画了吸引域(Z)被筛出孔洞的强烈 程度.

当系统(1)的位于同步不变子空间中的混沌吸 引子A的吸引域(A)被筛出大量孔洞的时候,对于 约化在同步不变子空间上的标准帐篷映射而言,它 的自然不变概率密度不再是1,而应小于1.根 据自然不变概率密度的定义,得到= 1 -p(e),此时横截Lyapunov指数的表达式应为

可见,系统(1)的同步混沌吸引子A在-/5/2<£< -V3/2和V3/2<£ #/2的参数区间中的横截Lyapunov 指数应 比假设其吸引 域不是 筛形吸引域时 大.由于横截Lyapunov指数描述了吸引子在横截方 向的吸引能力的强弱.出现筛形吸引域时.吸引子在 横截方向的吸引能力降低,因此这个结论是显然的, 这从图例说明也可看出.图5给出根据(2)式计算得 到的A±和拫据(6)式由一些实验点的p值计算得 到的A1.以及由数值计算得到的横截Lyapunov指 数A三者的比较图.可以看到,Ai和数值结果最接
5结论

从对动力系统(1)的同步混沌吸引子A的吸引 域的考察中,主要得到以下结论:

1.解折证明了直接线性耦合的标准帐篷映射 的混沌同步系统混沌吸引子的吸引域在 | -75/2,-73/2; U |乃/2,乃/2|的耦合参数区间 是筛形吸引域,

1、提出了筛形品质因子p的概念,虽然p是 一个通过数值计算得到的量,存在数值计算上的误 差,但在可允许的误差范围之内是一个恒定量,通过 考察/»,可以判断混沌同步系统的稳定性,找到筛形 吸引域发生从局部筛形到全局筛形分叉的临界参 数值.

3,通过对系统(1)的横截Lyapunov指数的分 析,修正了当系统中出现筛形吸引域时横截Lyapunov 指数的解析表达式, 指出同 步混纯吸引子 k 的横截Lyapunov指数较假设其吸引域不是筛形吸 引域时增大,表明通过检测横截Lyapunov指数的变 化也可以分析筛形吸引域的性质.

混沌同步系统有广泛的应用.为了更好地应用 混沌同步,不仅要考虑同步的可能性,还要研究同步 状态的稳定性.对于一个混沌同步系统而言,横截 Lyapunov指数A —<0(又±在文献[7]中称之为条件 Lyapunov指数)只是意味着系统会有同步的可能 性,考察筛形吸引域,对寻找同步状态的绝对稳定 区、研究同步混沌吸引子的各种形态有着重要意义. 在本文所讨论的系统(1)中,当Ai<0时的同步混 沌吸引子的吸引域是筛形吸引域,不存在同步状态 的绝对稳定区.因此,对于两个直接线性耦合的标准 帐篷映射的混沌同步系统.其对耦合参数的扰动不 具有结构的稳定性.

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